Analysis Beispiele

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x = (1 - \ln (x)) d y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $(1 - \ln (x)) d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 2.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 2.2.3

Da $\ln (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\ln (x)$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

Schritt 2.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Schritt 2.4.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (1 - \ln (x))$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Schritt 3.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Schritt 3.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.6

Multipliziere.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

Schritt 6

Integriere $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

Schritt 6.2

Schreibe $- (1 - \ln (x)) y + C$ als $(- 1 + \ln (x)) y + C$ um.

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ .

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Schritt 9.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(- 1 + \ln (x)) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 9.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 1 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 9.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 9.3.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 9.3.5

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 9.3.6

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.1.1

Subtrahiere $\ln (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

Schritt 10.1.1.2

Subtrahiere $\frac{y}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

Schritt 10.1.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ .

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Schritt 10.1.1.3.1

Subtrahiere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

Schritt 10.1.1.3.2

Addiere $\frac{d g}{d x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

Schritt 10.1.2

Addiere $\ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $1 + \ln (x)$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

Schritt 11.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

Schritt 11.4

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

Schritt 11.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 11.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 11.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Schritt 11.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

Schritt 11.7

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

Schritt 11.8

Vereinfache.

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

Schritt 11.9

Vereinfache.

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Schritt 11.9.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

Schritt 11.9.2

Addiere $\ln (x) x$ und $0$ .

$g (x) = \ln (x) x + C$

Schritt 12

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

Schritt 13

Vereinfache $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ .

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Schritt 13.1.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Schritt 13.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ um.

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$