Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y (1 + x^{3})}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{1 + x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{1^{3} + x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3.1.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3.2

Kombinieren.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} \cdot 1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} \cdot 1}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))}$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} \cdot 1}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))}$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.1.1.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.1.1.3.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.12

Mutltipliziere $1 - x + x^{2}$ mit $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.1.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.9

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.10

Addiere $- 1$ und $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.11

Addiere $x + 2 x^{2}$ und $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.12

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.13

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4.4.14

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.1.2.6.1

Bewege $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.1.2.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.2.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Addiere $1 + x^{2}$ und $0$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + x^{3} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + x^{3} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| 1 + x^{3} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} + C \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{3}{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} + \frac{C \cdot 3}{3})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 1 + x^{3} |) + C \cdot 3}{3}$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $C$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C}{3}$

Schritt 3.2.2.1.5

Kombiniere $2$ und $\frac{\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}{3}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}{3}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}{3}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{\sqrt{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C) \cdot 3}}{3}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + 3 C)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 1 + x^{3} |) + C)}}{3}$