Analysis Beispiele

$(2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3) d x + (3 x^{2} y^{2} - 4 x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y^{3}$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y$ nach $y$ gleich $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.5.1

Da $4 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 + 0 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.5.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 + 0 + 0$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.1.1

Addiere $6 x y^{2} - 4$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 + 0$

Schritt 1.6.1.2

Addiere $6 x y^{2} - 4$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4$

Schritt 1.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x - 4$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - 4 x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{2} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 4 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 4$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $6 y^{2} x - 4$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $6 y^{2} x - 4$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$6 y^{2} x - 4 = 6 y^{2} x - 4$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$6 y^{2} x - 4 = 6 y^{2} x - 4$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} - 4 x d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} d y + \int - 4 x d y$

Schritt 5.2

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3 x^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 x^{2} \int y^{2} d y + \int - 4 x d y$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 x d y$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 x y + C$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 x y + C$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - 4 x y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - 4 x y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3} - 4 x y + g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{3} - 4 x y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y^{3}$ nach $x$ gleich $y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 8.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $- 4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x y$ nach $x$ gleich $- 4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y^{3} x - 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y^{3} x - 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 y^{3} x - 4 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y^{3} x - 4 y + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} x - 4 y = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $2 y^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - 4 y = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3 - 2 y^{3} x$

Schritt 9.1.2

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3 - 2 y^{3} x + 4 y$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3 - 2 y^{3} x + 4 y$ .

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Schritt 9.1.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 x y^{3}$ und $- 2 y^{3} x$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{3} x - 4 y + 4 x - 3 - 2 y^{3} x + 4 y$

Schritt 9.1.3.2

Subtrahiere $2 y^{3} x$ von $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y + 4 x - 3 + 0 + 4 y$

Schritt 9.1.3.3

Addiere $- 4 y + 4 x - 3$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y + 4 x - 3 + 4 y$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $- 4 y$ und $4 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x - 3 + 0$

Schritt 9.1.3.5

Addiere $4 x - 3$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x - 3$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $4 x - 3$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 4 x - 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x - 3 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x - 3 d x$

Schritt 10.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int 4 x d x + \int - 3 d x$

Schritt 10.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$g (x) = 4 \int x d x + \int - 3 d x$

Schritt 10.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

Schritt 10.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Schritt 10.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$g (x) = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

Schritt 10.8

Vereinfache.

$g (x) = 2 x^{2} - 3 x + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y^{3} - 4 x y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - 4 x y + 2 x^{2} - 3 x + C$