Analysis Beispiele

$(2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3) d x - (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3]$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.2.2

Da $2 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{2}$ nach $y$ gleich $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.5

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + 0$

Schritt 1.6

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Subtrahiere $2 x y$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2 + 0$

Schritt 1.6.2

Addiere $- 2 x y - 2$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} y + 2 x)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} y + 2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot y x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \cdot 1)$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2)$

Schritt 2.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x) - 1 \cdot 2$

Schritt 2.10.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (y x) - 1 \cdot 2$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x - 2$

Schritt 2.10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y - 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $- 2 x y - 2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 x y - 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} y + 2 x) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int x^{2} y + 2 x d y$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = - (\int x^{2} y d y + \int 2 x d y)$

Schritt 5.3

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (x^{2} \int y d y + \int 2 x d y)$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y)$

Schritt 5.5

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C)$

Schritt 5.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C)$

Schritt 5.7

Vereinfache.

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + C$

Schritt 5.8

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.2.1.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3.3

Da $\frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3.5

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3.7

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$- (\frac{2 y^{2}}{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3.8

Kombiniere $\frac{2 y^{2}}{2}$ und $x$ .

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3.9.2

Dividiere $y^{2} x$ durch $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (y^{2} x) - (2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 8.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Addiere $y^{2} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x$

Schritt 9.1.2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- x y^{2}$ und $y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - y^{2} x - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $- y^{2} x$ und $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

Schritt 9.1.3.3

Addiere $2 x^{3} - 2 y + 3$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 2 y$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

Schritt 9.1.3.5

Addiere $2 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 x^{3} + 3$ , um $g (x)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Schritt 10.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

Schritt 10.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

Schritt 10.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

Schritt 10.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

Schritt 10.7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

Schritt 10.8

Vereinfache.

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

Schritt 10.9

Stelle die Terme um.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - (2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 (x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Schritt 12.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$