Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 x - 5$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 2 x - 5 d x$

Schritt 1.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{d y}{d x} = \int 2 x d x + \int - 5 d x$

Schritt 1.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{d y}{d x} = 2 \int x d x + \int - 5 d x$

Schritt 1.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + \int - 5 d x$

Schritt 1.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) - 5 x + C_{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{1}) - 5 x + C_{2}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 5 x + C_{3}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x^{2} - 5 x + C_{3}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{2} - 5 x + C_{3} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{4} = \int x^{2} - 5 x + C_{3} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{4} = \int x^{2} d x + \int - 5 x d x + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} + \int - 5 x d x + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 5 \int x d x + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 5 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Schritt 3.3.6.2

Vereinfache.

$y + C_{4} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{8}$

Schritt 3.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C_{3} x + C_{8}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C x + D$