Analysis Beispiele

$d x - e^{x} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{x} d y = - d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{e^{x}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 d y = \frac{1}{e^{x}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{e^{x}}$ und $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{e^{x}} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 1 d y = - \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$- y + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$- y + C_{1} = - \int e^{- x} d x$

Schritt 4.3.3

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.3.3.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- y + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

Schritt 4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- y + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$- y + C_{1} = \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- y + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- y + C_{1} = e^{- x} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- y = e^{- x} + K$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- y = e^{- x} + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = e^{- x} + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{e^{- x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$y = - e^{- x} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 5.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$y = - e^{- x} - 1 \cdot K$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$y = - e^{- x} - K$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - e^{- x} + K$