Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y e^{- x^{2}}$ , $y (4) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y e^{- x^{2}}$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{- x^{2}}))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ ist ein spezielles Integral. Das Integral ist die Fehlerfunktion.

$\ln (| y |) + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = erf (x) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e r f (x) + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = e r f (x) + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{e r f (x) + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{e r f (x) + C}$ um.

$| y | = e^{e r f (x) + C}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $e r f$ mit $x$ .

$| y | = e^{e r f x + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{e r f x + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{e r f x + C}$ als $e^{e r f x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{e r f x} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{e r f x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{e r f x}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{e r f x}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $4$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = C e^{e r f x}$ ersetzt wird.

$1 = C e^{e r f \cdot 4}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ um.

$C e^{e r f \cdot 4} = 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ durch $e^{e r f \cdot 4}$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ durch $e^{e r f \cdot 4}$ .

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{e r f \cdot 4}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e r f$ .

$C = \frac{1}{e^{4 e r f}}$

Schritt 7

Setze $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ für $C$ in $y = C e^{e r f x}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ .

$y = \frac{1}{e^{4 e r f}} e^{e r f x}$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ und $e^{e r f x}$ .

$y = \frac{e^{e r f x}}{e^{4 e r f}}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{e r f x}$ und $e^{4 e r f}$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $e^{4 e r f}$ aus $e^{e r f x}$ heraus.

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f}}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{e^{e r f x - 4 e r f}}{1}$

Schritt 7.3.2.4

Dividiere $e^{e r f x - 4 e r f}$ durch $1$ .

$y = e^{e r f x - 4 e r f}$