Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) y^{5}}{x^{2} (2 y^{3} - y)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{3} - y$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{3}$ heraus.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{5}$ heraus.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{3} - y$ heraus.

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{3}$ heraus.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) - y})$

Schritt 1.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1})$

Schritt 1.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{5}$ und $y$ .

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{5}$ heraus.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Schritt 1.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Schritt 1.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1})$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x^{2}}$ mit $\frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2} (2 y^{2} - 1)}$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{2} - 1$ .

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Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $2 y^{2} - 1$ aus $x^{2} (2 y^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

Schritt 1.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4}$ .

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Schritt 1.3.7.1

Faktorisiere $y^{4}$ aus $(x - 1) y^{4}$ heraus.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{3} - y$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{3}$ heraus.

$\int \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\int \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{5}$ heraus.

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.2.1

Bringe $y^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (2 y^{2} - 1) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 y^{2} - 1) y^{4 \cdot - 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int (2 y^{2} - 1) y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(2 y^{2} - 1) y^{- 4}$ .

$\int 2 y^{2} y^{- 4} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{- 4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.1

Bewege $y^{- 4}$ .

$\int 2 (y^{- 4} y^{2}) - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 y^{- 4 + 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.1.3

Addiere $- 4$ und $2$ .

$\int 2 y^{- 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $- 1 y^{- 4}$ als $- y^{- 4}$ um.

$\int 2 y^{- 2} - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - \int y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 4}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.2.9.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.9.1.1

Kombiniere $y^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9.1.2

Bringe $y^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9.2

Vereinfache.

$2 (- \frac{1}{y}) - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{1}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + 1 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3 y^{3}}$ mit $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(x - 1) x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe $- 1 x^{- 2}$ als $- x^{- 2}$ um.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int - x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - (- x^{- 1} + C_{5})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Vereinfache.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C_{6}$

Schritt 2.3.8.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C_{6}$

Schritt 2.3.8.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C_{6}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$