Analysis Beispiele

$6 x (y d) x + (4 y + 9 y^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $6 x y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(4 y + 9 y^{2}) d y = - 6 x y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (4 y + 9 y^{2}) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $4 y + 9 y^{2}$ .

$\frac{4 y + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Schritt 3.2

Faktorisiere $y$ aus $4 y + 9 y^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{y \cdot 4 + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $9 y^{2}$ heraus.

$\frac{y \cdot 4 + y (9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 4 + y (9 y)$ heraus.

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Schritt 3.3.2

Dividiere $4 + 9 y$ durch $1$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 + 9 y) d y = - 6 \frac{1}{y} (x y) d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{y}$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (x y) d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$(4 + 9 y) d y = - 6 x d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 4 + 9 y d y = \int - 6 x d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 d y + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Schritt 4.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$4 y + C_{1} + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Schritt 4.2.3

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$4 y + C_{1} + 9 \int y d y = \int - 6 x d x$

Schritt 4.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y + C_{1} + 9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - 6 x d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache.

$4 y + 9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Schritt 4.2.5.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 y + \frac{9}{2} y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Schritt 4.2.6

Stelle die Terme um.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \int - 6 x d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 \int x d x$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ als $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ um.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 4.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 4.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 4.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 4.3.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 3 x^{2} + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Schritt 5.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} = K$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} - K = 0$

Schritt 5.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$9 y^{2} + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Schritt 5.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} - 2 K = 0$

Schritt 5.3.3

Bewege $8 y$ .

$9 y^{2} + 6 x^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Schritt 5.3.4

Stelle $9 y^{2}$ und $6 x^{2}$ um.

$6 x^{2} + 9 y^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Schritt 5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5

Setze die Werte $a = 9$ , $b = 8$ und $c = 6 x^{2} - 2 K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 (6 x^{2}) - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.6

Faktorisiere $8$ aus $64 - 216 x^{2} + 72 K$ heraus.

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Schritt 5.6.1.6.1

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.6.2

Faktorisiere $8$ aus $- 216 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.6.3

Faktorisiere $8$ aus $72 K$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.6.4

Faktorisiere $8$ aus $8 (8) + 8 (- 27 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.6.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.7

Schreibe $8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)$ als $2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))$ um.

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Schritt 5.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (2) (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 9 K))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.7.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.7.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + K)} + 4}{9}$