Analysis Beispiele

$x d x - y^{2} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} d y = - x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - y^{2} d y = \int - x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int y^{2} d y = \int - x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - x d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ als $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{3}}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y^{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$y^{3} = - 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = - 3 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = - 3 (- \frac{x^{2}}{2}) - 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $- 3 (- \frac{x^{2}}{2})$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} - 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} - 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x^{2}}{2} - 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x^{2}}{2}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} - 3 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- K)}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- K)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - K)}$

Schritt 3.4.2

Um $- K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - K \cdot \frac{2}{2})}$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $- K$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{- K \cdot 2}{2})}$

Schritt 3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 K}{2}}$

Schritt 3.4.6

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2} - 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 K)}{2}}$

Schritt 3.4.7

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 K)}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.9.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.9.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 3.4.9.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.9.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.9.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.9.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.9.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.9.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.9.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 3.4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.10.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 3.4.10.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 3.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.11.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 K) \cdot 4}}{2}$

Schritt 3.4.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 K)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} + K)}}{2}$