Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} + \csc (y) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\csc (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d t} = - \csc (y)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\csc (y)} (- \csc (y))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{\csc (y)} \csc (y)$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc (y)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\csc (y)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = - d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int - 1 d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\csc (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int - 1 d t$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (y)}$ zu dividieren.

$\int 1 \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\sin (y)$ nach $y$ ist $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - 1 d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \cos (y) + C_{1} = - t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \cos (y) = - t + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (y) = - t + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (y) = - t + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $\cos (y)$ durch $1$ .

$\cos (y) = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (y) = \frac{t}{1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$\cos (y) = t + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = t - 1 \cdot K$

Schritt 3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$\cos (y) = t - K$

Schritt 3.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (t - K)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \arccos (t + K)$