Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{1 - y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\sqrt{1 - y^{2}}$ aus $x \sqrt{1 - y^{2}}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}$ nach $y$ ist $\arcsin (y)$

$\arcsin (y) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arcsin (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$y = \sin (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \sin (\frac{x^{2}}{2} + K)$