Analysis Beispiele

$(2 x^{2} y + 2 x) \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $2 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2 x \frac{d y}{d x}$ aus $2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $2 x \frac{d y}{d x}$ aus $2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ heraus.

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $2 x \frac{d y}{d x}$ aus $2 x \frac{d y}{d x}$ heraus.

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $2 x \frac{d y}{d x}$ aus $2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ heraus.

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ durch $2 x (x y + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ durch $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x y + 1$ .

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Schritt 1.1.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.1.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x y + 1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.1.4.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x y + 1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Schritt 1.1.4.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Schritt 1.1.4.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.2

Um $- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x y + 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{x y + 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x y + 1) x$ um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.5

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} x - y$ heraus.

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Schritt 1.1.4.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y x) + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- y x - 1$ und $x y + 1$ .

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Schritt 1.1.4.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.6.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.6.4

Schreibe $- (y x + 1)$ als $- 1 (y x + 1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.6.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Schritt 1.1.4.3.6.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 1.1.4.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.3.7.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Schritt 1.1.4.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Schritt 3.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| y x |) = C$

Schritt 3.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (| y x |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $| y x | = e^{C}$ um.

$| y x | = e^{C}$

Schritt 3.6.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Schritt 3.6.3

Teile jeden Ausdruck in $y x = \pm e^{C}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y x = \pm e^{C}$ durch $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Schritt 3.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Schritt 3.6.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{x}$