Analysis Beispiele

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x = (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $(3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{3} + y^{2} \sin (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Schritt 2.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $\sin (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} \sin (x)$ nach $y$ gleich $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) (2 y)$

Schritt 2.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x y^{2} + 2 y \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Schritt 3.2.3

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y^{2}$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Schritt 3.2.6

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y (- \sin (x)))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} - 2 y \sin (x))$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2}) - (- 2 y \sin (x))$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} - (- 2 y \sin (x))$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Schritt 6

Integriere $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int 3 x y^{2} + 2 y \cos (x) d y$

Schritt 6.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = - (\int 3 x y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Schritt 6.3

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3 x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (3 x \int y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Schritt 6.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y \cos (x) d y)$

Schritt 6.5

Da $2 \cos (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 \cos (x)$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) \int y d y)$

Schritt 6.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Schritt 6.7

Vereinfache.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})]$ .

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Schritt 9.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{3} + \cos (x) y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.3.3

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y^{3}$ nach $x$ gleich $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.3.5

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\cos (x) y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.3.6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.5

Vereinfache.

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Schritt 9.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{3} - (y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 9.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- y^{3} + 1 (y^{2} (\sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.5.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- y^{3} + y^{2} \sin (x) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 9.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y^{3} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.1

Addiere $y^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3}$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $y^{2} \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$

Schritt 10.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$ .

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Schritt 10.1.3.1

Addiere $- y^{3}$ und $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) + 0 - y^{2} \sin (x)$

Schritt 10.1.3.2

Addiere $x + y^{2} \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) - y^{2} \sin (x)$

Schritt 10.1.3.3

Subtrahiere $y^{2} \sin (x)$ von $y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Schritt 10.1.3.4

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Schritt 11.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 13

Vereinfache $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = - (x y^{3}) - (\cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 13.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 13.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ um.

$f (x, y) = - x y^{3} - y^{2} \cos (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$