Analysis Beispiele

$\frac{1}{3} \cdot \frac{d y}{d x} = y + \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

Schritt 1.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Schritt 1.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2}}{3} e^{3 x} \cdot 3$

Schritt 1.7

Kombiniere $\frac{x^{2}}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} \cdot 3$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ und $3$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

Schritt 1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

Schritt 1.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 1 x^{2} e^{3 x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 3$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 3 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 3 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 3 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

Schritt 3.3

Multipliziere $e^{- 3 x}$ mit $e^{3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x} e^{- 3 x} (1 x^{2})$

Schritt 3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x - 3 x} (1 x^{2})$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{0} (1 x^{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache $e^{0} (1 x^{2})$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$

Schritt 3.5

Stelle die Faktoren in $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$ um.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = x^{2}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = x^{2}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int x^{2} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- 3 x} y = \int x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ durch $e^{- 3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ durch $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.3.1.3

Kombinieren.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 8.3.1.4

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$