Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10}$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10} d x$

Schritt 1.2

Da $\frac{21}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{21}{10}$ aus dem Integral.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 1.3

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.3.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.3.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int u d u$

Schritt 1.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $\frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ als $\frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{21}{10}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10 \cdot 2} u^{2} + C_{1}$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} u^{2} + C_{1}$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2

Da $\frac{21}{20}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{21}{20}$ aus dem Integral.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = \frac{21}{20} \tan (x) + C x + D$