Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y = x y^{5}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{5}$ ist.

$v = y^{- 4}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- \frac{1}{4}}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{4}}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{4}}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{4}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{{(v^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{{(v^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{4}}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.4.4.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 4.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.5.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.11

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $v^{- \frac{3}{4}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.12

Bringe $v^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}} v'}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.14

Kombiniere $\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}}$ und $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.15

Schreibe $\frac{\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}}{v^{\frac{1}{2}}}$ als ein Produkt um.

$y' = - (\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}$ mit $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}} v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17

Multipliziere $v^{\frac{3}{4}}$ mit $v^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.17.1

Bewege $v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 (v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{3}{4}})}$

Schritt 4.17.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}}$

Schritt 4.17.3

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}}$

Schritt 4.17.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.17.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}}$

Schritt 4.17.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}}$

Schritt 4.17.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2 + 3}{4}}}$

Schritt 4.17.6

Addiere $2$ und $3$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- \frac{1}{4}}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} - y = x y^{5}$ ein.

$- \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ mit $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ mit $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 v^{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Faktorisiere $4 v^{\frac{5}{4}}$ aus $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (4 v^{\frac{5}{4}} (- 1)) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (4 v^{\frac{5}{4}} \cdot - 1) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.4

Multipliziere $v^{- \frac{1}{4}}$ mit $v^{\frac{5}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1.4.1

Bewege $v^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{\frac{5}{4}} v^{- \frac{1}{4}}) (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{5 - 1}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.4

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{4}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.5

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.5

Vereinfache $- v^{1} (- 1 \cdot (4))$ .

$\frac{d v}{d x} - v (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 4 = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 1 \cdot 4 x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} v^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} v^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.1.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ .

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Schritt 6.1.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- \frac{1}{4} \cdot 5} v^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.1.3.3.2

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot 5$ .

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Schritt 6.1.3.3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- 5 (\frac{1}{4})} v^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.1.3.3.2.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{- 5}{4}} v^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.1.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- \frac{5}{4}} v^{\frac{5}{4}}$

Schritt 6.1.3.4

Multipliziere $v^{- \frac{5}{4}}$ mit $v^{\frac{5}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.3.4.1

Bewege $v^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x (v^{\frac{5}{4}} v^{- \frac{5}{4}})$

Schritt 6.1.3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{5}{4} - \frac{5}{4}}$

Schritt 6.1.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{5 - 5}{4}}$

Schritt 6.1.3.4.4

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{0}{4}}$

Schritt 6.1.3.4.5

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{0}$

Schritt 6.1.3.5

Vereinfache $- 4 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 4$ gilt.

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Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 4 d x}$

Schritt 6.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{4 x + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{4 x}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{4 x}$ .

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + e^{4 x} (4 v) = e^{4 x} (- 4 x)$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = e^{4 x} (- 4 x)$

Schritt 6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = - 4 e^{4 x} x$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = - 4 e^{4 x} x$ um.

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 v e^{4 x} = - 4 x e^{4 x}$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} v] = - 4 x e^{4 x}$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} v] d x = \int - 4 x e^{4 x} d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$e^{4 x} v = \int - 4 x e^{4 x} d x$

Schritt 6.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.7.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$e^{4 x} v = - 4 \int x e^{4 x} d x$

Schritt 6.7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 6.7.3

Vereinfache.

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Schritt 6.7.3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 6.7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 6.7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Schritt 6.7.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Schritt 6.7.5

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.7.5.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.7.5.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 6.7.5.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 6.7.5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 6.7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Schritt 6.7.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Schritt 6.7.7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Schritt 6.7.8

Vereinfache.

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Schritt 6.7.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Schritt 6.7.10

Schreibe $- 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ als $- 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ um.

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 6.7.11

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Schritt 6.7.12

Vereinfache.

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Schritt 6.7.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Schritt 6.7.12.1.2

Kombiniere $\frac{x}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Schritt 6.7.12.1.3

Kombiniere $e^{4 x}$ und $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 6.7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{4 x} v = - 4 \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 6.7.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.7.12.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e^{4 x} v = 4 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 6.7.12.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{4 x} v = 4 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 6.7.12.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 6.7.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.7.12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{4 x}}{16}$ in den Zähler.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - 4 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Schritt 6.7.12.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Schritt 6.7.12.4.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{4 \cdot 4} + C$

Schritt 6.7.12.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{4 \cdot 4} + C$

Schritt 6.7.12.4.5

Forme den Ausdruck um.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - \frac{- e^{4 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.12.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.12.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} - - \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.12.5.2

Multipliziere $- - \frac{e^{4 x}}{4}$ .

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Schritt 6.7.12.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} + 1 \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.12.5.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{4 x}}{4}$ mit $1$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.12.6

Um $- x e^{4 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.12.7

Kombiniere $- x e^{4 x}$ und $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} v = \frac{- x e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.12.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{4 x} v = \frac{- x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.12.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.12.9.1

Faktorisiere $e^{4 x}$ aus $- x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}$ heraus.

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Schritt 6.7.12.9.1.1

Faktorisiere $e^{4 x}$ aus $- x e^{4 x} \cdot 4$ heraus.

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x}}{4} + C$

Schritt 6.7.12.9.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1}{4} + C$

Schritt 6.7.12.9.1.3

Faktorisiere $e^{4 x}$ aus $e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1$ heraus.

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 1)}{4} + C$

Schritt 6.7.12.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C$

Schritt 6.7.12.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x) + 1)}{4} + C$

Schritt 6.7.12.11

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x) - 1 (- 1))}{4} + C$

Schritt 6.7.12.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x - 1))}{4} + C$

Schritt 6.7.12.13

Schreibe $- (4 x - 1)$ als $- 1 (4 x - 1)$ um.

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- 1 (4 x - 1))}{4} + C$

Schritt 6.7.12.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x} (4 x - 1)}{4} + C$

Schritt 6.7.13

Entferne die Klammern.

$e^{4 x} v = - \frac{1}{4} e^{4 x} (4 x - 1) + C$

Schritt 6.8

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 6.8.1

Kombiniere $e^{4 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$

Schritt 6.8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$ durch $e^{4 x}$ und vereinfache.

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Schritt 6.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$ durch $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} v}{e^{4 x}} = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{4 x}$ .

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Schritt 6.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{4 x} v}{e^{4 x}} = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.8.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.8.2.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{4 x}}{4}$ in den Zähler.

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 (x)) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{- e^{4 x} x - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.3

Multipliziere $- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.8.2.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$v = \frac{- e^{4 x} x + 1 \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{e^{4 x}}{4}$ mit $1$ .

$v = \frac{- e^{4 x} x + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.4

Vereinige $- e^{4 x} x$ und $\frac{e^{4 x}}{4}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 6.8.2.3.2.4.1

Bewege $e^{4 x}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.4.2

Um $- 1 x e^{4 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.4.3

Kombiniere $- 1 x e^{4 x}$ und $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.2.3.2.5.1

Faktorisiere $e^{4 x}$ aus $- 1 x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}$ heraus.

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Schritt 6.8.2.3.2.5.1.1

Faktorisiere $e^{4 x}$ aus $- 1 x e^{4 x} \cdot 4$ heraus.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.5.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.5.1.3

Faktorisiere $e^{4 x}$ aus $e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1$ heraus.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.5.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.2.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.3

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.8.2.3.4.1

Kombiniere $C$ und $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x) + e^{4 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.5.3

Mutltipliziere $e^{4 x}$ mit $1$ .

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.5.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 6.8.2.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 e^{4 x} x$ heraus.

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x) + e^{4 x} + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{4 x}$ heraus.

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x) - 1 (- e^{4 x}) + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 e^{4 x} x) - 1 (- e^{4 x})$ heraus.

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $4 C$ heraus.

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) - (- 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) - (- 4 C)$ heraus.

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.8.2.3.6.6.1

Schreibe $- (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)$ als $- 1 (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)$ um.

$v = \frac{\frac{- 1 (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v = \frac{- \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.6.6.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C}{4}$ um.

$v = \frac{- \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{4 x}}$

Schritt 6.8.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{4 x}}$ mit $\frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4}$ .

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{e^{4 x} \cdot 4}$

Schritt 6.8.2.3.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4 e^{4 x}}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 4}$ .

$y^{- 4} = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4 e^{4 x}}$