Analysis Beispiele

$e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$y + C_{1} = 2 \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 2.3.2.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- x} d x$

Schritt 2.3.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.6

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.6.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.6.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.6.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 2.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Schritt 2.3.9

Schreibe $2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ als $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$