Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Schritt 1

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - V$

Schritt 2

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 3

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 4

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - V$

Schritt 5

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 5.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 5.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = - V - V$

Schritt 5.1.1.1.2

Subtrahiere $V$ von $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - 2 V$

Schritt 5.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = - 2 V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = - 2 V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 5.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 5.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 5.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{x}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{x})$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{x}$

Schritt 5.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{V}$ in den Zähler.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{x}$

Schritt 5.1.3.2.2

Faktorisiere $V$ aus $2 V$ heraus.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{x}$

Schritt 5.1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{x}$

Schritt 5.1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{2}{x}$

Schritt 5.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 5.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.2

Das Integral von $\frac{1}{V}$ nach $V$ ist $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 5.2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 5.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 5.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 5.3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $\ln (| V |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| V |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| V |) + \ln (x^{2}) = C$

Schritt 5.3.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | x^{2}) = C$

Schritt 5.3.2.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln (| V | x^{2})$ um.

$\ln (x^{2} | V |) = C$

Schritt 5.3.3

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} | V |)} = e^{C}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $\ln (x^{2} | V |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} | V |$

Schritt 5.3.5

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} | V | = e^{C}$ um.

$x^{2} | V | = e^{C}$

Schritt 5.3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} | V | = e^{C}$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} | V | = e^{C}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | V |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 5.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} | V |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 5.3.5.2.2.1.2

Dividiere $| V |$ durch $1$ .

$| V | = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 5.3.5.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$V = \pm \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Schritt 5.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \pm \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 5.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = C \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = C \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7

Löse $\frac{y}{x} = C \frac{1}{x^{2}}$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = C (\frac{1}{x^{2}}) x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = C (\frac{1}{x^{2}}) x$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = C (\frac{1}{x^{2}}) x$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $C (\frac{1}{x^{2}}) x$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kombiniere $C$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = \frac{C}{x^{2}} x$

Schritt 7.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{C}{x \cdot x} x$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{C}{x \cdot x} x$

Schritt 7.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{C}{x}$