Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{- 2} d x$

Schritt 1.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{- 1} + C_{1}$

Schritt 1.4

Schreibe $- x^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{x} + C_{1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x} + C_{1}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (- \frac{1}{x} + C_{1}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{2} = - \int \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

$y + C_{2} = - \ln (| x |) + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.6

Stelle die Terme um.

$y + C_{2} = C_{1} x - \ln (| x |) + C_{5}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = C x - \ln (| x |) + D$