Analysis Beispiele

$3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$ durch $3 x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{3 x}$

Schritt 1.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{x}{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{6} x^{2} + K$