Analysis Beispiele

$(1 + y^{2}) d x + (1 + x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(1 + y^{2}) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(1 + x^{2}) d y = - (1 + y^{2}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ in den Zähler.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ heraus.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.3

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ um.

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Dividiere $\arctan (x)$ durch $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arctan (y)$ als $- \arctan (y)$ um.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

Schritt 5.3.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

Schritt 5.4

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

Schritt 5.5

Schreibe die Gleichung als $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ um.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Schritt 5.6

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arctan (y)$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Schritt 5.7

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Schritt 5.8

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.8.2.2

Dividiere $\arctan (y)$ durch $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.8.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.8.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arctan (x)$ als $- \arctan (x)$ um.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.8.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Schritt 5.8.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Schritt 5.9

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

Schritt 5.10

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Schritt 5.11

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arctan (y)$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Schritt 5.12

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Schritt 5.13

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.13.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.13.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.13.2.2

Dividiere $\arctan (y)$ durch $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.13.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.13.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arctan (x)$ als $- \arctan (x)$ um.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.13.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Schritt 5.13.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Schritt 5.14

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$