Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} - 1}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} - 1}{y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = (x^{2} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} - x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} - x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} - x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} - x + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} x^{3} - x + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} - x + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- x) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- x) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = x^{3} + 3 (- x) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} = x^{3} - 3 x + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{x^{3} - 3 x + 3 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{x^{3} - 3 x + K}$