Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (y)$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y)$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ nach $\sec^{2} (y)$ um.

$\int \sec^{2} (y) d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Da die Ableitung von $\tan (y)$ gleich $\sec^{2} (y)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (y)$ gleich $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\tan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\tan (y) = x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Stelle $x$ und $K$ um.

$\tan (y) = K + x$

Schritt 3.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (K + x)$