Analysis Beispiele

$\frac{d z}{d x} = \frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + \frac{2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4 + 2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Schritt 2.2.1.3

Addiere $z$ und $2 z$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 4 - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Schritt 2.2.1.4

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 3}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Schritt 2.2.1.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3 z + 3}{2 z - 1}$ zu dividieren.

$\int 1 \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{2 z - 1}{3 z + 3}$ mit $1$ .

$\int \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Schritt 2.2.2

Dividiere $2 z - 1$ durch $3 z + 3$ .

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Schritt 2.2.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 z$

$3$

$2 z$

$1$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 z$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 z$ .

					$\frac{2}{3}$
	$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$

Schritt 2.2.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			+	$2 z$	+	$2$

Schritt 2.2.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 z + 2$

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$

Schritt 2.2.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$
					-	$3$

Schritt 2.2.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int \frac{2}{3} - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

Schritt 2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $3 z + 3$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 z$ heraus.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3} d z = \int d x$

Schritt 2.2.4.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3 (1)} d z = \int d x$

Schritt 2.2.4.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (z) + 3 (1)$ heraus.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

Schritt 2.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

Schritt 2.2.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Schritt 2.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2}{3} z + C_{1} + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Schritt 2.2.7

Sei $u = z + 1$ . Dann ist $d u = d z$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.7.1

Es sei $u = z + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d z}$ .

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Schritt 2.2.7.1.1

Differenziere $z + 1$ .

$\frac{d}{d z} [z + 1]$

Schritt 2.2.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z + 1$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$

Schritt 2.2.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [1]$

Schritt 2.2.7.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Schritt 2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

$\frac{2}{3} z - \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Schritt 2.2.10

Ersetze alle $u$ durch $z + 1$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) = x + C$