Analysis Beispiele

solve the differential equation of $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Stelle $x^{2}$ und $4$ um.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3.4

Mutltipliziere $\arctan (\frac{x}{2})$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.4

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \arctan (\frac{1}{2} x) + K$