Analysis Beispiele

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$2 y d y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 1 + \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 1 + \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.1.1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Schritt 2.3.1.1.4

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \sin (x)$ .

$y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y^{2} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Schritt 3.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Schritt 3.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Schritt 3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$