Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{- 9}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 8 x^{- 9} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 8 x^{- 9} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 8 x^{- 9} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 8 \int x^{- 9} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 9}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{8} x^{- 8}$ .

$y + C_{1} = 8 (- \frac{1}{8} x^{- 8} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1.1

Kombiniere $x^{- 8}$ und $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = 8 (- \frac{x^{- 8}}{8} + C_{2})$

Schritt 2.3.3.1.2

Bringe $x^{- 8}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 8 (- \frac{1}{8 x^{8}} + C_{2})$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = 8 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \frac{1}{8 x^{8}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.3.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{8 x^{8}}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{8 x^{8}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $8$ .

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Schritt 2.3.3.3.3.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{8 \cdot - 1}{8 x^{8}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.3.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{8}$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{8 \cdot - 1}{8 (x^{8})} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{8 \cdot - 1}{8 x^{8}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{x^{8}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{8}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{x^{8}} + K$