Analysis Beispiele

$x y d x - (x + 2) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- (x + 2) d y = - x y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x + 2) y}$ .

$\frac{1}{(x + 2) y} (- (x + 2)) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(x + 2) y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) y$ heraus.

$\frac{- 1}{(x + 2) (y)} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 2) y} (x y) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(x + 2) y}$ in den Zähler.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 2) y} (x y) d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $(x + 2) y$ heraus.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (x y) d x$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (y x) d x$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (y x) d x$

Schritt 3.5.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 2} x d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{- 1}{x + 2}$ und $x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 2} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 2} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 2} d x$

Schritt 4.3.2

Dividiere $x$ durch $x + 2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Schritt 4.3.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Schritt 4.3.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Schritt 4.3.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Schritt 4.3.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Schritt 4.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x)$

Schritt 4.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x)$

Schritt 4.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x)$

Schritt 4.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x))$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Schritt 4.3.8

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.8.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.8.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 4.3.8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.3.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.3.8.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.3.8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.3.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}))$

Schritt 4.3.10

Vereinfache.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x - 2 \ln (| u |)) + C_{4}$

Schritt 4.3.11

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x - 2 \ln (| x + 2 |)) + C_{4}$

Schritt 4.3.12

Vereinfache.

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Schritt 4.3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - x - (- 2 \ln (| x + 2 |)) + C_{4}$

Schritt 4.3.12.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - x + 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| y |) = - x + 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| y |) - 2 \ln (| x + 2 |) = - x + C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x + 2 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln (| y |) - \ln ({| x + 2 |}^{2}) = - x + C$

Schritt 5.2.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x + 2 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- \ln (| y |) - \ln ({(x + 2)}^{2}) = - x + C$

Schritt 5.3

Addiere $\ln ({(x + 2)}^{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Schritt 5.4.2.2

Dividiere $\ln (| y |)$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (| y |) = \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Schritt 5.4.3.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = x + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Schritt 5.4.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = x - 1 \cdot C + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Schritt 5.4.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| y |) = x - C + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

Schritt 5.4.3.1.5

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = x - C - 1 \cdot \ln ({(x + 2)}^{2})$

Schritt 5.4.3.1.6

Schreibe $- 1 \cdot \ln ({(x + 2)}^{2})$ als $- \ln ({(x + 2)}^{2})$ um.

$\ln (| y |) = x - C - \ln ({(x + 2)}^{2})$

Schritt 5.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x - C$

Schritt 5.6

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x - C$

Schritt 5.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x - C}$

Schritt 5.8

Schreibe $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x - C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.9.1

Schreibe die Gleichung als $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ um.

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$

Schritt 5.9.2

Teile jeden Ausdruck in $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ durch ${(x + 2)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ durch ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 5.9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 5.9.2.2.1.2

Dividiere $| y |$ durch $1$ .

$| y | = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 5.9.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 6.2

Schreibe $e^{x + C}$ als $e^{x} e^{C}$ um.

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 6.3

Stelle $e^{x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 6.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$