Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 1$ , $t = 5$ , $h = 0.5$

Schritt 1

Definiere $f (t, y)$ , sodass $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

Schritt 2

Ermittle $f (0, 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze $0$ für $t$ und $1$ für $y$ ein.

$f (0, 1) = e^{0}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $2.71828182$ mit $0$ .

$f (0, 1) = 1$

Schritt 3

Verwende die rekursive Formel $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ , um $y_{1}$ zu finden.

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Schritt 3.1

Ersetze.

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $0.5$ mit $1$ .

$y_{1} = 1 + 0.5$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $0.5$ .

$y_{1} = 1.5$

Schritt 4

Verwende die rekursive Formel $t_{1} = t_{0} + h$ , um $t_{1}$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze.

$t_{1} = 0 + 0.5$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $0.5$ .

$t_{1} = 0.5$

Schritt 5

Ermittle $f (0.5, 1.5)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $0.5$ für $t$ und $1.5$ für $y$ ein.

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $2.71828182$ mit $0.5$ .

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

Schritt 6

Verwende die rekursive Formel $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ , um $y_{2}$ zu finden.

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Schritt 6.1

Ersetze.

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $0.5$ mit $1.64872127$ .

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

Schritt 6.2.2

Addiere $1.5$ und $0.82436063$ .

$y_{2} = 2.32436063$

Schritt 7

Verwende die rekursive Formel $t_{2} = t_{1} + h$ , um $t_{2}$ zu finden.

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Schritt 7.1

Ersetze.

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

Schritt 7.2

Addiere $0.5$ und $0.5$ .

$t_{2} = 1$

Schritt 8

Fahre auf die gleiche Weise fort, bis die gewünschten Werte angenähert sind.

Schritt 9

Gib alle Näherungen in einer Tabelle an.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$