Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Schritt 2.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ um.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Stelle $e^{x}$ und $\sin (x)$ um.

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (x)$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Schritt 6.3

Stelle $e^{x}$ und $\cos (x)$ um.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Schritt 6.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (x)$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Schritt 6.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 6.6

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ mit $1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 6.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Schritt 6.7

Wenn nach $\int e^{x} \sin (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Schritt 6.8

Schreibe $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ als $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ um.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Schritt 7.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{2}$ und $e^{x}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Schritt 7.1.3.2

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Schritt 7.1.4

Stelle die Faktoren in $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ um.

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.2

Kombinieren.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ in den Zähler.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.6.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \cos (x)$ heraus.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$