Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 0$ , $t = 1$ , $h = 0.1$

Schritt 1

Definiere $f (t, y)$ , sodass $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

Schritt 2

Ermittle $f (0, 0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze $0$ für $t$ und $0$ für $y$ ein.

$f (0, 0) = e^{0}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f (0, 0) = {2.71828182}^{0}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $2.71828182$ mit $0$ .

$f (0, 0) = 1$

Schritt 3

Verwende die rekursive Formel $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ , um $y_{1}$ zu finden.

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Schritt 3.1

Ersetze.

$y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $0.1$ mit $1$ .

$y_{1} = 0 + 0.1$

Schritt 3.2.2

Addiere $0$ und $0.1$ .

$y_{1} = 0.1$

Schritt 4

Verwende die rekursive Formel $t_{1} = t_{0} + h$ , um $t_{1}$ zu finden.

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Schritt 4.1

Ersetze.

$t_{1} = 0 + 0.1$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $0.1$ .

$t_{1} = 0.1$

Schritt 5

Ermittle $f (0.1, 0.1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $0.1$ für $t$ und $0.1$ für $y$ ein.

$f (0.1, 0.1) = e^{0.1}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $2.71828182$ mit $0.1$ .

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

Schritt 6

Verwende die rekursive Formel $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ , um $y_{2}$ zu finden.

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Schritt 6.1

Ersetze.

$y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $0.1$ mit $1.10517091$ .

$y_{2} = 0.1 + 0.11051709$

Schritt 6.2.2

Addiere $0.1$ und $0.11051709$ .

$y_{2} = 0.21051709$

Schritt 7

Verwende die rekursive Formel $t_{2} = t_{1} + h$ , um $t_{2}$ zu finden.

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Schritt 7.1

Ersetze.

$t_{2} = 0.1 + 0.1$

Schritt 7.2

Addiere $0.1$ und $0.1$ .

$t_{2} = 0.2$

Schritt 8

Fahre auf die gleiche Weise fort, bis die gewünschten Werte angenähert sind.

Schritt 9

Gib alle Näherungen in einer Tabelle an.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.21051709 \\ 0.3 & 0.33265736 \\ 0.4 & 0.46764324 \\ 0.5 & 0.61682571 \\ 0.6 & 0.78169784 \\ 0.7 & 0.96390972 \\ 0.8 & 1.16528499 \\ 0.9 & 1.38783908 \\ 1 & 1.63379939 \end{array}$