Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ , $y (0) = 1$ , $t = 0.5$ , $h = 0.05$

Schritt 1

Definiere $f (t, y)$ , sodass $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = \sin (t)$

Schritt 2

Ermittle $f (0, 1)$ .

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Schritt 2.1

Setze $0$ für $t$ und $1$ für $y$ ein.

$f (0, 1) = \sin (0)$

Schritt 2.2

Berechne $\sin (0)$ .

$f (0, 1) = 0$

Schritt 3

Verwende die rekursive Formel $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ , um $y_{1}$ zu finden.

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Schritt 3.1

Ersetze.

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $0.05$ mit $0$ .

$y_{1} = 1 + 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$y_{1} = 1$

Schritt 4

Verwende die rekursive Formel $t_{1} = t_{0} + h$ , um $t_{1}$ zu finden.

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Schritt 4.1

Ersetze.

$t_{1} = 0 + 0.05$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $0.05$ .

$t_{1} = 0.05$

Schritt 5

Ermittle $f (0.05, 1)$ .

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Schritt 5.1

Setze $0.05$ für $t$ und $1$ für $y$ ein.

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

Schritt 5.2

Berechne $\sin (0.05)$ .

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

Schritt 6

Verwende die rekursive Formel $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ , um $y_{2}$ zu finden.

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Schritt 6.1

Ersetze.

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $0.05$ mit $0.04997916$ .

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

Schritt 6.2.2

Addiere $1$ und $0.00249895$ .

$y_{2} = 1.00249895$

Schritt 7

Verwende die rekursive Formel $t_{2} = t_{1} + h$ , um $t_{2}$ zu finden.

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Schritt 7.1

Ersetze.

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

Schritt 7.2

Addiere $0.05$ und $0.05$ .

$t_{2} = 0.1$

Schritt 8

Fahre auf die gleiche Weise fort, bis die gewünschten Werte angenähert sind.

Schritt 9

Gib alle Näherungen in einer Tabelle an.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$