Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{2}$ ist.

$v = y^{- 1}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 6.1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 6.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.1.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $v^{2}$ aus $- v^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.4

Multipliziere $v^{- 1}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.2.1.4.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{2 - 1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.4.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.5

Vereinfache $2 x v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Schritt 6.1.1.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Schritt 6.1.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 2} v^{2}$

Schritt 6.1.1.1.3.3

Multipliziere $v^{- 2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.3.3.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} (v^{2} v^{- 2})$

Schritt 6.1.1.1.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{2 - 2}$

Schritt 6.1.1.1.3.3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{0}$

Schritt 6.1.1.1.3.4

Vereinfache $- x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Schritt 6.1.1.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d v}{d x} - 2 v x = - x^{2}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- 2 v x$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v (- 2 x) = - x^{2}$

Schritt 6.1.3

Stelle $v$ und $- 2 x$ um.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2 x$ gilt.

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Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 x d x}$

Schritt 6.2.2

Integriere $- 2 x$ .

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Schritt 6.2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Schritt 6.2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.2.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 6.2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x^{2}}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Schritt 6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$ um.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 x v e^{- x^{2}} = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] d x = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x^{2}} v = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 6.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} v = - \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 6.7.2

Sei $u_{1} = - x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.7.2.1

Es sei $u_{1} = - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.7.2.1.1

Differenziere $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 6.7.2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.7.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x)$

Schritt 6.7.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x$

Schritt 6.7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Schritt 6.7.3

Vereinfache.

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Schritt 6.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Schritt 6.7.3.2

Kombiniere $\sqrt{- u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Schritt 6.7.3.3

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 6.7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} v = - - \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 6.7.5

Vereinfache.

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Schritt 6.7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = 1 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 6.7.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$ mit $1$ .

$e^{- x^{2}} v = \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 6.7.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.7.7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = e^{u_{1}}$ und $d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8

Vereinfache.

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Schritt 6.7.8.1

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.5

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.6

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.10

Vereinfache.

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Schritt 6.7.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.10.2

Mutltipliziere $\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ mit $1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.11

Da $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.12

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Schritt 6.7.13

Vereinfache.

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Schritt 6.7.13.1

Schreibe $\frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ als $\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ um.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2

Vereinfache.

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Schritt 6.7.13.2.1

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2.2

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2.6

Kombiniere $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Schritt 6.7.13.2.7

Addiere $- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ und $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \cdot 0 + C$

Schritt 6.7.13.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$e^{- x^{2}} v = 0 + C$

Schritt 6.7.13.2.9

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{- x^{2}} v = C$

Schritt 6.8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} v = C$ durch $e^{- x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} v = C$ durch $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 6.8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$