Analysis Beispiele

$4 \sqrt{y} = x - y$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 y^{\frac{1}{2}} = x - y$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.9

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.11

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.13

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

Schritt 3.14

Kombiniere $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ und $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 - y'$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - y'$

Schritt 6

Löse nach $y^{\frac{1}{2}}$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y' = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $(1 - y') y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$2 y' = y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Stelle $y^{\frac{1}{2}}$ und $- y' y^{\frac{1}{2}}$ um.

$2 y' = - y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.3.1

Addiere $y' y^{\frac{1}{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' + y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $y^{\frac{1}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.3

Ersetze $y^{\frac{1}{2}}$ durch $u$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y' (u) - (u) = 0$

Schritt 6.3.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.4.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y' u - u = 0$

Schritt 6.3.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y' u - u = 0$

Schritt 6.3.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 {y'}^{1} + y' u - u = 0$

Schritt 6.3.4.1.2

Vereinfache.

$2 y' + y' u - u = 0$

Schritt 6.3.4.2

Subtrahiere $2 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' u - u = - 2 y'$

Schritt 6.3.4.3

Faktorisiere $u$ aus $y' u - u$ heraus.

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Schritt 6.3.4.3.1

Faktorisiere $u$ aus $y' u$ heraus.

$u y' - u = - 2 y'$

Schritt 6.3.4.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u y' + u \cdot - 1 = - 2 y'$

Schritt 6.3.4.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u y' + u \cdot - 1$ heraus.

$u (y' - 1) = - 2 y'$

Schritt 6.3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $u (y' - 1) = - 2 y'$ durch $y' - 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $u (y' - 1) = - 2 y'$ durch $y' - 1$ .

$\frac{u (y' - 1)}{y' - 1} = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

Schritt 6.3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y' - 1$ .

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Schritt 6.3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u (y' - 1)}{y' - 1} = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

Schritt 6.3.4.4.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

Schritt 6.3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

Schritt 6.3.5

Ersetze $u$ durch $y'$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y'}{y' - 1}$