Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 10 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 10$ heraus.

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 10$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 10) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \cdot 1) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.6.1

Mutltipliziere $x - 10$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.4.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 u \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $x - 5$ aus ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $x - 5$ aus ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.6.2.2

Faktorisiere $x - 5$ aus $- 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.6.2.3

Faktorisiere $x - 5$ aus $(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

Schritt 2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x - 5$ aus ${(x - 5)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.10

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) \cdot 1}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10)}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.1.1

Multipliziere $(x - 5) (2 x - 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 10) - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.3

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.2.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 0 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2.2

Addiere $- 20 x + 50$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2.3

Addiere $- 20 x$ und $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 2.12.2.2.4

Addiere $0$ und $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{{(x - 5)}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 10 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 10$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x (x - 10) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Schritt 5.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.3.3

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 5.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 10) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 10$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, 10$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{50}{{((0) - 5)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$\frac{50}{{(- 5)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{50}{- 125}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $- 125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$\frac{25 (2)}{- 125}$

Schritt 9.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 125$ heraus.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Schritt 9.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Schritt 9.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{- 5}$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{5}$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 5}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 5}$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 5}$

Schritt 11.2.3

Dividiere $0$ durch $- 5$ .

$f (0) = 0$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 10$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{50}{{((10) - 5)}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$\frac{50}{5^{3}}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{50}{125}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$\frac{25 (2)}{125}$

Schritt 13.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Schritt 13.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Schritt 13.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5}$

Schritt 14

$x = 10$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 10$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f (10) = \frac{{(10)}^{2}}{(10) - 5}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f (10) = \frac{100}{10 - 5}$

Schritt 15.2.2

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$f (10) = \frac{100}{5}$

Schritt 15.2.3

Dividiere $100$ durch $5$ .

$f (10) = 20$

Schritt 15.2.4

Die endgültige Lösung ist $20$ .

$y = 20$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Maximum

$(10, 20)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17