Analysis Beispiele

$\arctan (- \frac{x}{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(- \frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{x}{2}$ heraus.

$\frac{1}{1 + {(- (\frac{x}{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- (\frac{x}{2})$ an.

$\frac{1}{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + 1 {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere ${(\frac{x}{2})}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.3

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$- \frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{4}$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Schritt 3.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{2}}$

Schritt 3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \frac{2}{4 + x^{2}})$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{2}{4 + x^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{2}{4 + x^{2}}$