Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 5.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$