Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{13 - \frac{π}{h^{2}}}{5 - \frac{6}{h^{2}}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $13$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{h^{2}}{h^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2}}{h^{2}} - \frac{π}{h^{2}}}{5 - \frac{6}{h^{2}}}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}}{5 - \frac{6}{h^{2}}}$

Schritt 1.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{h^{2}}{h^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}}{\frac{5 h^{2}}{h^{2}} - \frac{6}{h^{2}}}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}}{\frac{5 h^{2} - 6}{h^{2}}}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{13 h^{2} - π}{h^{2}} \cdot \frac{h^{2}}{5 h^{2} - 6}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}$ mit $\frac{h^{2}}{5 h^{2} - 6}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(13 h^{2} - π) h^{2}}{h^{2} (5 h^{2} - 6)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{h \to 0} \frac{(13 h^{2} - π) h^{2}}{h^{2} (5 h^{2} - 6)}$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{h \to 0} \frac{13 h^{2} - π}{5 h^{2} - 6}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 13 h^{2} - π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} 13 h^{2} - lim_{h \to 0} π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Schritt 5

Ziehe den Term $13$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{13 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 6}$

Schritt 9

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 6}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 6}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 6}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{13 \cdot 0^{2} - π}{5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 6}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{13 \cdot 0^{2} - π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{13 \cdot 0 - π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $13$ mit $0$ .

$\frac{0 - π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.1.3

Subtrahiere $π$ von $0$ .

$\frac{- π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- π}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{- π}{0 - 1 \cdot 6}$

Schritt 13.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{- π}{0 - 6}$

Schritt 13.2.4

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$\frac{- π}{- 6}$

Schritt 13.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{π}{6}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{6}$

Dezimalform:

$0.52359877 \dots$