Analysis Beispiele

$2 x \sqrt{x} \sin (x)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Schritt 2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x) \sin (x)]$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) \sin (x)]$

Schritt 2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + 1} \sin (x)]$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sin (x)]$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 2}{2}} \sin (x)]$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{3}{2}} \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} \sin (x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 12

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x^{\frac{3}{2}} \cos (x)) + 2 \frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 13.2

Vereine die Terme

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (\sin (x) (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{6 (\sin (x) (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$

Schritt 13.2.3

Faktorisiere $2$ aus $6 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 13.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 13.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{2 (3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + \frac{3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 13.2.4.4

Dividiere $3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 \sin (x) x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 13.3

Stelle die Terme um.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cos (x) + 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$