Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} 3 x^{2}, x \geq 1 \\ A x - 4, x < 1 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $A x - 4$ , wenn sich $x$ von links $1$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 1^{-}} A x - 4$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1^{-}} A x - lim_{x \to 1^{-}} 4$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $A$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$A lim_{x \to 1^{-}} x - lim_{x \to 1^{-}} 4$

Schritt 1.2.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$A lim_{x \to 1^{-}} x - 1 \cdot 4$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$A \cdot 1 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$A - 1 \cdot 4$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$A - 4$

Schritt 2

Berechne $3 x^{2}$ bei $1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$3 {(1)}^{2}$

Schritt 2.2

Berechne.

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Schritt 2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 3

Da die Grenze von $A x - 4$ bei Annäherung von $x$ an $1$ von links nicht gleich dem Funktionswert bei $x = 1$ ist, ist die Funktion bei $x = 1$ nicht kontinuierlich.

Nicht stetig

Schritt 4