Analysis Beispiele

$y - x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y - x^{2} + 2 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y' - 2 x + 2 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y' - 2 x + 2$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$- 2 x + y' + 2$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 x + y' + 2 = 0$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' + 2 = 2 x$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' = 2 x - 2$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2$