Analysis Beispiele

$y = x^{2} e^{- 2 x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 2 x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x^{2} (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (2 x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Terme um.

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x$

Schritt 3.4.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x$ um.

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$