Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2} - 8}{8 x} d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int \frac{x^{2} - 8}{x} d x$

Schritt 2

Dividiere $x^{2} - 8$ durch $x$ .

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Schritt 2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$8$

Schritt 2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Schritt 2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Schritt 2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Schritt 2.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$8$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{8} \int x - \frac{8}{x} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{8} (\int x d x + \int - \frac{8}{x} d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{8}{x} d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{8}{x} d x)$

Schritt 6

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C - (8 \int \frac{1}{x} d x))$

Schritt 7

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 8 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 8 (\ln (| x |) + C))$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} - 8 \ln (| x |)) + C$