Analysis Beispiele

$y = \frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{6}{5}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6}{5}$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- \frac{6}{5}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ nach $t$ gleich $- \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$ .

$0 - \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - 20 t$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 20 t$ .

$0 - \frac{6}{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{u} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 20 t$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Schritt 2.3

Da $- 20$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 20 t$ nach $t$ gleich $- 20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \cdot 1))$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \cdot - 20)$

Schritt 2.6

Bringe $- 20$ auf die linke Seite von $e^{- 20 t}$ .

$0 - \frac{6}{5} (- 20 \cdot e^{- 20 t})$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$0 + 20 (\frac{6}{5}) e^{- 20 t}$

Schritt 2.8

Kombiniere $20$ und $\frac{6}{5}$ .

$0 + \frac{20 \cdot 6}{5} e^{- 20 t}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $20$ mit $6$ .

$0 + \frac{120}{5} e^{- 20 t}$

Schritt 2.10

Kombiniere $\frac{120}{5}$ und $e^{- 20 t}$ .

$0 + \frac{120 e^{- 20 t}}{5}$

Schritt 2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $120$ und $5$ .

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Schritt 2.11.1

Faktorisiere $5$ aus $120 e^{- 20 t}$ heraus.

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5}$

Schritt 2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.11.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 (1)}$

Schritt 2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 \cdot 1}$

Schritt 2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{24 e^{- 20 t}}{1}$

Schritt 2.11.2.4

Dividiere $24 e^{- 20 t}$ durch $1$ .

$0 + 24 e^{- 20 t}$

Schritt 3

Addiere $0$ und $24 e^{- 20 t}$ .

$24 e^{- 20 t}$