Analysis Beispiele

$7 \ln (x^{2} y^{2}) = 6$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (7 \ln (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 \ln (x^{2} y^{2})$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$7 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ und $7$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.7

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Schritt 2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.10.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{14}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} (y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.4

Kombiniere $y$ und $\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}} y' + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.5

Kombiniere $\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}}$ und $y'$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.6

Bringe $14$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{y (14 \cdot x^{2}) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.7

Bringe $14$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{14 \cdot y x^{2} y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 2.10.2.8.1

Faktorisiere $y$ aus $14 y x^{2} y'$ heraus.

$\frac{y (14 x^{2} y')}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.2.8.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.10.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.10

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Schritt 2.10.2.12

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} x$

Schritt 2.10.2.13

Kombiniere $\frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ und $x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14 x}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 2.10.2.14

Bringe $14$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 \cdot y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 2.10.2.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 2.10.2.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 2.10.2.15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 x}{x^{2}}$

Schritt 2.10.2.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.10.2.16.1

Faktorisiere $x$ aus $14 x$ heraus.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x^{2}}$

Schritt 2.10.2.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.2.16.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Schritt 2.10.2.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Schritt 2.10.2.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x}$

Schritt 3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{14}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{14 y'}{y} = - \frac{14}{x}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$14 y' = - \frac{14}{x} y$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $- \frac{14}{x} y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kombiniere $y$ und $\frac{14}{x}$ .

$14 y' = - \frac{y \cdot 14}{x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Bringe $14$ auf die linke Seite von $y$ .

$14 y' = - \frac{14 y}{x}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ durch $14$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ durch $14$ .

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Schritt 5.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 5.4.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{14 y}{x}$ in den Zähler.

$y' = \frac{- 14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Schritt 5.4.3.2.2

Faktorisiere $14$ aus $- 14 y$ heraus.

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Schritt 5.4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Schritt 5.4.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{x}$

Schritt 5.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$