Analysis Beispiele

$lim_{x \to 10} \sqrt{\frac{10 x}{2 x + 5}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 10} \frac{10 x}{2 x + 5}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{10 lim_{x \to 10} \frac{x}{2 x + 5}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $10$ annähert.

$\sqrt{10 \frac{lim_{x \to 10} x}{lim_{x \to 10} 2 x + 5}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $10$ annähert.

$\sqrt{10 \frac{lim_{x \to 10} x}{lim_{x \to 10} 2 x + lim_{x \to 10} 5}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{10 \frac{lim_{x \to 10} x}{2 lim_{x \to 10} x + lim_{x \to 10} 5}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $10$ annähert.

$\sqrt{10 \frac{lim_{x \to 10} x}{2 lim_{x \to 10} x + 5}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $10$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $10$ für $x$ .

$\sqrt{10 \frac{10}{2 lim_{x \to 10} x + 5}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $10$ für $x$ .

$\sqrt{10 \frac{10}{2 \cdot 10 + 5}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $10$ und $\frac{10}{2 \cdot 10 + 5}$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 10}{2 \cdot 10 + 5}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 10}{20 + 5}}$

Schritt 8.3

Addiere $20$ und $5$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 10}{25}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Ausdruck $\frac{10 \cdot 10}{25}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \cdot 10$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (2 \cdot 10)}{25}}$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (2 \cdot 10)}{5 (5)}}$

Schritt 8.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5 (2 \cdot 10)}{5 \cdot 5}}$

Schritt 8.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 10}{5}}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $5$ aus $2 \cdot 10$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (2 \cdot 2)}{5}}$

Schritt 8.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (2 \cdot 2)}{5 (1)}}$

Schritt 8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5 (2 \cdot 2)}{5 \cdot 1}}$

Schritt 8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{1}}$

Schritt 8.5.2.4

Dividiere $2 \cdot 2$ durch $1$ .

$\sqrt{2 \cdot 2}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4}$

Schritt 8.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2}}$

Schritt 8.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2$