Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 3 x^{2}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 3 x^{2} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $3 x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{3 \int x^{2} d x}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ um.

$e^{3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 x^{3} + C}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$e^{x^{3} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x^{3}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{3}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{3}} (3 x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$ um.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] = x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] d x = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x^{3}} y = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Sei $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Dann ist $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Schritt 6.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 6.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 6.1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 6.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Schritt 6.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ um.

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Schritt 6.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ um.

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{x^{3}} y = \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 6.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} u_{2} + C$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ durch $e^{x^{3}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ durch $e^{x^{3}}$ .

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{3}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{3}}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $\frac{1}{3}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$