Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $x'$ aus $e^{x} x' - e^{x} x x'$ heraus.

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Schritt 3.6.2.1.1

Faktorisiere $x'$ aus $e^{x} x'$ heraus.

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.2.1.2

Faktorisiere $x'$ aus $- e^{x} x x'$ heraus.

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.2.1.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ heraus.

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} - e^{x} x$ heraus.

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Schritt 3.6.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.2.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x$ heraus.

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.2.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ heraus.

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.6.3.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x' e^{x} (1 - x)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 3.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 3.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

Schritt 3.6.3.2.4

Dividiere $x' e^{- x} (1 - x)$ durch $1$ .

$x' e^{- x} (1 - x)$

Schritt 3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $x'$ mit $1$ .

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

Schritt 3.6.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

Schritt 3.6.7

Stelle die Faktoren in $x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ um.

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ um.

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ um.

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $x' e^{- x}$ heraus.

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $- x x' e^{- x}$ heraus.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x' e^{- x}$ aus $x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ heraus.

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ durch $e^{- x} (1 - x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ durch $e^{- x} (1 - x)$ .

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$