Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}{lim_{x \to - \infty} x}$

Schritt 1.1.2

Da der Exponent $- x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x}$

Schritt 1.1.3

Der Grenzwert im negativ Unendlichen eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist minus unendlich.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 1.2

Da $\frac{\infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 \cdot e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $- e^{- x}$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} - e^{- x}$

Schritt 2

Da die Funktion $e^{- x}$ gegen $\infty$ geht, geht die negative Konstante $- 1$ mal der Funktion gegen $- \infty$ .

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Schritt 2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $- 1$ entfernt.

$lim_{x \to - \infty} e^{- x}$

Schritt 2.2

Da der Exponent $- x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- x}$ $\infty$ an.

$\infty$

Schritt 2.3

Da die Funktion $e^{- x}$ gegen $\infty$ geht, geht die negative Konstante $- 1$ mal der Funktion gegen $- \infty$ .

$- \infty$